L’infinito contenuto nel finito?

In questo periodo mi sto dilettando con i frattali, cioè con le figure autosimili, quelle che restano uguali a se stesse a qualunque ingrandimento le si sottoponga e proposte per la prima volta da Mandelbrot e di cui vediamo un esempio nella foto. Studiandoli si può capire come nel mondo della matematica (e non solo) l’infinito possa essere contenuto nel finito. Ve ne propongo alcuni semplici, con le loro caratteristiche paradossali, così potrete meravigliarvi e divertirvi un po’ anche voi…

 

La polvere di Cantor, ovvero un ‘segmento’ di lunghezza nulla...

A partire da un segmento, si può costruire un frattale che è composto da infiniti 'segmenti' ma ha una lunghezza nulla: si tratta della polvere di Cantor.

Togliamo come prima 1/3 alla parte centrale, otterremo due segmenti di lunghezza 1/3 ciascuno. La lunghezza totale sarà allora (2)x(1/3) = 2/3 = 0,67 circa. Togliamo ora ad ognuno dei due segmenti 1/3 centrale, allora visto che ogni segmento era di 1/3, abbiamo tolto 1/3x13 = 1/9 per ognuno di essi e quindi ci saranno 4 segmenti da 1/9 di lunghezza totale di (2x2)x(1/3x1/3) = 4x(1/9) = 4/9 = 0,44 circa. Ripetendo il processo si vede che al passo n-esimo avremo 2ⁿ segmenti di lunghezza (1/3)ⁿ e quindi una lunghezza risultante pari a (2ⁿ) x (1/3)ⁿ = (2/3)ⁿ . Si nota allora che la lunghezza decresce esponenzialmente come (2/3)ⁿ , che per n tendente all’infinito fa zero. Allora avremo infiniti segmentini (che tendono a ridursi a punti) che daranno una lunghezza complessiva nulla. Ecco in Figura 1 la situazione con n = 6 (il segmento iniziale si considera di passo n = 0):

Figura 1

 

Altre notevoli proprietà di questo insieme: il numero dei suoi elementi non si può contare e ha la potenza del continuo come l’insieme di tutti i punti del segmento stesso (altro paradosso: abbiamo tolto infiniti punti ma ne sono rimasti comunque infiniti). Inoltre ha una dimensione di circa 0,631 che è quindi maggiore di quella di un punto (che è zero) e minore di quella di un segmento (che è 1).

La curva di Koch, ovvero una spezzata finita di lunghezza infinita...

Credo che sia noto a tutti che in un segmento, per esempio in uno di lunghezza 1 cm, sono contenuti infiniti punti. Se ad ogni punto si fa corrispondere un numero, che può essere benissimo la distanza di esso dal punto iniziale del segmento, allora otterremo infiniti numeri (reali), e precisamente quelli compresi tra 0 e 1. Ma non finisce qui. Si dicono numeri razionali quelli che possono essere scritti e ottenuti come frazioni di numeri interi (che possiamo indicare con m e n), perciò del tipo m/n. Ne viene che nel segmento (0,1) sono contenuti infiniti numeri razionali, tutti quelli del tipo m/n con m minore di n, e il ‘numero’ infinito di questi numeri si dice ‘potenza del numerabile’ in quanto essi possono essere messi in corrispondenza con i numeri interi 1, 2, 3, ... cioè possono essere contati. Ma nello stesso tempo nel segmento sono contenuti anche infiniti numeri irrazionali, che sono quelli che non si possono esprimere come frazioni di numeri interi, ad esempio come lo è √2/2. E, altro fatto sorprendente, il ‘numero’ di questi numeri irrazionali, contenuti nel segmento, è infinitamente superiore al ‘numero’ dei razionali. L’infinito totale dei numeri razionali e irrazionali contenuti nel segmento si chiama ‘potenza del continuo’ ed è, altro fatto paradossale, uguale allo stesso numero dei punti contenuti in tutta una retta.

Se prendiamo ora il segmento e lo frastagliamo trasformandolo in un frattale può anche essere reso di lunghezza infinita. Come? Se togliamo al centro del segmento un 1/3 della sua lunghezza e gli aggiungiamo una V capovolta con lati ognuno pari a 1/3 avremo ottenuto una linea spigolosa composta da 4 segmenti di 1/3 e perciò di lunghezza (4x1/3) cioè 1,33 cm (Figura 2). Se ripetiamo il procedimento per ogni lato, togliendo 1/3 della parte centrale e aggiungendo la V capovolta, con lati quindi pari a 1/9, otterremo una figura di 4x4 = 16 lati ognuno di lunghezza 1/9 e quindi la linea avrà lunghezza 16x(1/9), cioè 16/9 ovvero 1,78 cm (Figura 3). Ripetendo il processo, allora al passo n avremo (4x4x4 ...x4) = 4ⁿ segmenti di lunghezza (1/3ⁿ) e la lunghezza totale allora sarà 4ⁿ x (1/3ⁿ) cioè (4/3)ⁿ , quindi la lunghezza crescerà esponenzialmente, con esponente n = numero di passi e come base 4/3. Ma il limite per n tendente all’infinito di (4/3)ⁿ è infinito. Con un numero infinito di passi otterremo quindi un 'merletto' di lunghezza infinita contenuto nel segmento iniziale di 1 cm. Questa è la curva di Koch, un frattale di dimensione 1,26 che fra l’altro pur essendo continuo, cioè senza buchi, è però talmente spigoloso che non ammette tangente in nessun punto.

 

Figura 2

 

 

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Allora se volessimo percorrere la curva con un automobilina puntiforme iniziando dal punto a sinistra non riusciremmo mai ad arrivare all’estremo finale a destra e questo per qualunque velocità (finita) essa dovesse avere. Anche un raggio di luce ‘incanalato’ in una fibra ottica a curva di Koch teoricamente dovrebbe restare come imprigionato in essa per l’eternità non riuscendo mai a raggiungere la parte opposta. Ovviamente ho inserito l'aggettivo teoricamente per sottolineare che il discorso è solo astratto e puramente matematico, dal punto di vista fisico sarebbe naturalmente tutta un'altra storia! Pensate comunque ad un altro paradosso: questa lunghezza essendo comunque infinita sarebbe perciò maggiore del diametro dell’Universo (che attualmente è di circa 93 miliardi di anni luce...)!

Il triangolo di Sierpinski, ovvero una figura di area nulla ma perimetro infinito.

Partiamo da un triangolo equilatero di lato pari a 1. La sua area sarà A₀ il perimetro p₀ .

Come primo passo togliamogli un triangolo equilatero capovolto centrale di lato ½ come nel secondo triangolo (della Figura 6) che ha area ¼ di A₀ .

 

Figura 6

L’area risultante sarà adesso

1) A₁ = A₀- (1/4) A₀ = (¾) A₀ = 0,75 A₀ e il perimetro complessivo sarà p₁ = 3 x p₀/2 = 1,5 p₀.

2) Togliendo ancora dei triangoli capovolti centrali di lato ¼ nei rimanenti triangoli scuri, come nel terzo triangolo della figura, si avrà un’area A₂ = A₀- (1/4)A₀– (3/16) A₀ = (9/16) A₀ = 0, 56 A₀ e il perimetro p₂ = 9 x p₀/4 = 2,25 p₀.

Come si vede l’area decresce ma il perimetro cresce.

3) Ripetendo il processo si vede perciò che al passo n l’Area sarà A_n = (3/4)ⁿ A₀

e il perimetro (3/2)ⁿ p₀.

Ne possiamo concludere allora che l’area decresce esponenzialmente con base 3/4 mentre il perimetro cresce esponenzialmente con base 3/2. Allora per n infinito avremo un’area nulla e un perimetro infinito.

Qualcuno potrebbe obiettare che la cosa non ci dovrebbe meravigliare visto che alla fine il triangolo pieno di buchi si è trasformato in una linea infinita che come tutte le linee ha area nulla. Il problema è che questa figura non è assimilabile ad una linea, ma è qualcosa di più di essa e meno di una figura piana, infatti si può dimostrare che ha una dimensione D = 1, 585 e quindi, considerato che una linea ha D = 1 e una figura piana ha D = 2, risulta essere un qualcosa di intermedio tra una linea e una figura ma più vicino ad una figura che ad una linea.

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Note e crediti

(1) La Figura iniziale è tratta da Wikimedia qui

(2) Figura 1 tratta da Wikimedia qui

(3) Figura 2, Figura 3, Figura 4, Figura 5 tratte da Wikimedia qui

(4) Figura 6 tratta da Wikimedia qui