Ancora sull’Entanglement: la completezza della meccanica quantistica

Nel precedente post ho spiegato in cosa consiste l'Entanglement quantistico.  In quest'altro mostrerò che non c'è trucco, ovvero vedremo la completezza della meccanica quantistica usando come base un esempio che è stato ideato da Euan Squires nel suo libro 'the mistery of quantum world' e che viene menzionato anche da Ghirardi¹.

Alcune semplici premesse matematiche

Per i discorsi che faremo in seguito è necessario essere sicuri che chi legge abbia presenti alcuni concetti di matematica elementare, quindi è meglio rivederli un attimo.

Sicuramente il lettore ricorderà il teorema di Pitagora, che dice: “in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa ha la stessa area della somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti”.

Se si suppone che l’ipotenusa misuri c, il suo quadrato avrà area c² e allora dette a e b le misure dei cateti, si avrà

c² = a² + b²

Come si può vedere dalla stessa figura, un cateto, quello di misura a, può essere considerato come la proiezione ortogonale dell’ipotenusa nella direzione orizzontale, (la sua ombra ottenuta con luce verticale), mentre l’altro cateto, di misura b, è la proiezione dell’ipotenusa nella direzione verticale (la sua ombra ottenuta con luce orizzontale). Questa premessa ci permette di dire che considerata l’ipotenusa e i cateti come dei vettori che indicheremo come c, a, b, allora “la somma vettoriale dei vettori cateti è uguale al vettore ipotenusa” cioè

c = a + b

a e b dicono ‘vettori componenti’ ortogonali del vettore c e la regola ottenuta per la somma si chiama ‘regola del triangolo’.

Allora combinando le due osservazioni precedenti si trova che:

a) per un triangolo rettangolo 45°, 45°, 90°, che è la metà di un quadrato, se l’ipotenusa misura 1 allora i due cateti (uguali), cioè i componenti del vettore ipotenusa, misurano √2/2, circa uguale a 0,71, e si ha anche che 1 = (√2/2)² + (√2/2)² = (1/2) + (1/2);

b) per un triangolo rettangolo 30°, 60°, 90°, che è la metà di un triangolo equilatero, se l’ipotenusa misura 1 allora i due cateti, ovvero i componenti del vettore ipotenusa, misurano rispettivamente √3/2 , circa uguale a 0,87 , quello opposto a 60° e 1/2 = 0,5 quello opposto a 30° e si ha anche in questo caso che 1 = (√3/2)² + (1/2)² = (3/4) + (1/4).

Le cose dette sono importanti perché se ad esempio un fotone è polarizzato inizialmente in una direzione a 45°, come il vettore ipotenusa nella figura 2, quando arriva di fronte ad un polarizzatore orizzontale, mentre per la fisica classica passerà solo una sua parte, cioè la componente orizzontale del suo campo elettrico, per la meccanica quantistica o passerà tutto, con una probabilità pari al quadrato di tale componente cioè (√2/2)² = 0,5, ovvero per il 50%, o non passerà per niente, nel 50% dei casi, perché verrà interamente assorbito dal polarizzatore.

Lo stesso discorso si può fare per un vettore polarizzato a 30°: essendo la sua componente orizzontale pari a √3/2, e il suo quadrato è 3/4, allora la probabilità che il fotone passi attraverso il polarizzatore a 0° sarà il 75% , mentre la probabilità che non passi sarà (1/2)² = 1/4 cioè il 25%.

 

Lo spettacolo telepatia con trucco, usando biglietti numerati

Adesso siamo pronti per illustrare l'esempio di Euan Squires.

Angela e Bruno vogliono fare uno spettacolo di ‘telepatia’. A loro, essendo separati e impossibilitati a comunicare, vengono consegnati dei biglietti numerati da 1 a 3, scelti di volta in volta dal pubblico. Loro scrivono in maniera apparentemente casuale un ‘SI’ o un ‘NO’ nel biglietto ricevuto. Dopo tantissime prove si scopre che ogni volta che Angela e Bruno hanno ricevuto biglietti con lo stesso numero hanno risposto due ‘NO’ o due ‘SI’ e non succede mai che ci sia discordanza. Angela e Bruno asseriscono che è successo perché sono telepatici. In realtà basta che si accordino prima dello spettacolo nel rispondere ad esempio SI, NO, NO nella prima prova a secondo il numero del biglietto ricevuto, poi NO, SI, NO nella seconda prova e così via per le altre prove. Siccome le possibili coppie diverse di biglietti ricevuti sono solo nove e precisamente (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), come si può facilmente verificare si avranno risposte concordi (SI, SI) oppure (NO, NO) in 5 casi su 9, mentre si avranno risposte discordi in 4 casi su 9, e questo qualunque sia la terna di risposte tipo SI, NO, NO con cui si sono accordati precedentemente. Ad esempio quando l’accordo è di scrivere SI per il biglietto 1 e NO per i biglietti 2 e 3 si avrà:

 

Se si fa un numero molto alto di prove allora risulteranno i 5/9 di risposte concordi, cioè il 56% e i 4/9 di risposte discordi ovvero il 44% e comunque a causa dell’accordo iniziale succederà che quando i numeri sono uguali le risposte saranno sempre concordi, cioè (SI, SI) o (NO, NO) .

Lo spettacolo di telepatia senza trucco usando fotoni entangled

Supponiamo adesso che Angela e Bruno invece di mettersi d'accordo prima del gioco su come rispondere, decidano di usare dei fotoni entangled preparati con polarizzazione a 45°, quindi che possono essere considerati anche come in due stati a 0° e 90° di ugual peso. Questo fatto per i fotoni entangled è del tutto generale, cioè tale stato collettivo si può esprimere in due direzioni arbitrarie perpendicolari tra loro (ad esempio 0° e 90° oppure 60° e 150° o anche 120° e 210°) con componenti di uguale peso. Supponiamo inoltre che Angela e Bruno possano usare polarizzatori di controllo a 0°, 60° e 120° scelti in maniera indipendente l’una dall’altro in base al numero del biglietto rivevuto dal pubblico (ad esempio 0° se è 1, 60° se è 2 e 120° se è 3).

Se per prima Angela usa un polarizzatore a 0° perchè ha ricevuto il biglietto 1, allora se il fotone passa, fornendo così la risposta SI, e questo succede con una probabilità del 50%, il fotone in uscita sarà nello stato di polarizzazione a 0°, cioè orizzontale, e nello contempo la stessa cosa succederà al fotone entangled di Bruno: esso da una polarizzazione a 45° passerà a quella a 0° pur non avendo attraversato nessun polarizzatore di prova. Se Bruno adesso dovrà usare sul suo fotone il polarizzatore a 0° otterrà una risposta SI con certezza, cioè con probabilità 1 ovvero del 100%, mentre se dovrà usare quello a 60° o a 120° otterrà SI solo in 1/4 di casi, cioè con probabilità 0,25 ovvero del 25%, e questo perché la componente nella direzione a 60° o a 120° del vettore singolo di Bruno, polarizzato a 0°, è 1/2 del vettore stesso e il suo quadrato, che dà la probabilità, è (1/2)² = 0,25.

Se invece il fotone di Angela non passa, ottenendo così il NO, il fotone ha scelto casualmente lo stato di polarizzazione verticale, cioè a 90°, e lo stesso allora si può dire del fotone di Bruno. Usando sempre i polarizzatori a 0°, 60°, 120°, quale sarà la probabilità che il fotone di Bruno non superi il test, cioè che ottenga come risultato il NO? Come è facile intuire anche in questo caso se usa il polarizzatore a 0° la risposta è NO nel 100% dei casi, mentre se usa quello a 60° o a 120° la risposta è NO nel 25% dei casi.

Discorsi analoghi si ottengono quando Angela invece di quella a 0° usa l’orientazione del suo polarizzatore a 60° (o a 120°). Come abbiamo già detto, lo stato entangled può essere pensato come scomposto con egual peso probabilistico su due direzioni ortogonali arbitrarie, come nella figura 2, allora questo assicura la perfetta analogia col caso a 0°: basta infatti considerare le direzioni a 60° invece di 0° e 150° invece di 90° (oppure 120° invece di 0° e 210° invece di 90°) e si ottengono gli stessi risultati di prima.

Considerando tutti i casi diversi possibili, si ottengono nove coppie di prove (la prima di Angela, la seconda di Bruno) come ad esempio nella seguente tabella: 

 

Come si vede, questa è analoga a quella ottenuta nel caso degli accordi segreti. Se si fa un numero molto grande di prove lo spettacolo riesce, perchè le risposte sono a caso ma sempre concordi quando i numeri dei biglietti ricevuti sono uguali. Però considerando la totalità delle risposte si nota una differenza: siccome in un terzo dei casi si ha la stessa coppia di direzioni, in cui si ha la certezza di risultati concordi (a causa dell’entanglement), e quindi con la probabilità pari a 1 di ottenere (SI, SI) oppure (NO, NO), e nei rimanenti 2/3 si hanno direzioni differenti, con probabilità pari a 1/4 di ottenere esiti concordi, allora la probabilità che gli esiti siano uguali è (1/3) x 1 + (2/3) x 1/4 = 1/2 cioè del 50%. E quindi è anche del 50% la probabilità di ottenere esiti diversi.

Questo fatto, confrontato con il risultato precedente, in cui gli accordi segreti iniziali portavano al 56% di risposte concordi e 44% discordi, fa concludere che i due fotoni (e perciò anche Angela e Bruno che li hanno usati per rispondere) non si sono precedentemente accordati su quale test superare o no, la decisione è stata casuale, e quindi verosimilmente non esistono ‘variabili nascoste’ che costringono i fotoni a superare concordemente o no una certa prova. Possiamo quindi dire che almeno nel caso in esame quella quantistica si conferma essere una teoria che descrive tutte le variabili in gioco. Inoltre, cosa non meno importante, ogni volta che  la coppia di fotoni entangled è stata sottoposta allo stesso test (perché c'erano numeri uguali sui due biglietti di Angela e Bruno) si è ottenuto senza eccezioni lo stesso risultato: o (SI, SI) o (NO, NO), quasi come se i fotoni si siano messi d'accordo tra loro in una maniera che potremmo definire 'telepatica'.

Riassumendo: la meccanica quantistica risulta completa, cioè non ci sono variabili nascoste che non tratta, ed è non locale, perché gli oggetti entangled si influenzano a distanza, cioè pur essendo lontani si comportano come se non lo fossero.

In un prossimo post tratteremo la disuguaglianza di Bell, che deve essere soddisfatta da tutte le teorie 'locali'. Vedremo che essa non è rispettata nei fenomeni descritti dalla meccanica quantistica: avremo allora una ulteriore conferma che questa teoria è veramente non locale.

(continua) 

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(0) Immagine di copertina  da Pixabay.com

(1) Gian Carlo Ghirardi - Un'occhiata alle carte di Dio - Saggiatore a pag. 205