La disuguaglianza di Bell e la non località

Con questo post concludo la trattazione dell’Entanglement e della conseguente non località della Meccanica Quantistica, di cui ho già parlato nei due precedenti articoli (qui e qui). Il testo che segue è un po’ tecnico e non si può fare diversamente, e per poter capire bene la spiegazione è meglio fare inizialmente qualche cenno sul calcolo probabilistico.

 

La probabilità che accadano due eventi indipendenti, che cioè non si influenzano, è uguale al prodotto della probabilità del verificarsi di ciascuno di essi. Ad esempio se vogliamo calcolare la probabilità che escano due determinati numeri, come la coppia (5, 4), lanciando prima un dado e subito dopo un altro dado, questa probabilità sarà 1/6 x 1/6, cioè 1/32. Ma se i dadi sono truccati, ad esempio con due facce opposte magnetizzate, il lancio del primo dado, a causa della posizione che assume, influenzerà il secondo, in qualche modo orientando quest’ultimo a causa del campo magnetico che avrà generato attorno a se, e perciò gli eventi non saranno più indipendenti e quindi la probabilità non sarà la stessa di prima.

Se una teoria è locale, cioè non ammette azioni istantanee tra enti distanti, allora se il valore r_A di una misura effettuata su un ente, ad esempio su un fotone, in un punto A, ha la probabilità P(r_A) di verificarsi e se il valore r_B della misura effettuata subito dopo su un ente dello stesso tipo posto in B - molto distante e non influenzabile in alcun modo dall’ente che si trova in A - ha la probabilità P(r_B) di verificarsi, allora la probabilità di ottenere il risultato r_A in A e il risultato r_B in B sarà quello di due eventi indipendenti e cioè il prodotto delle probabilità: P(r_A, r_B) = P(r_A) x P(r_B), come abbiamo visto nel caso dei due dadi non truccati. Questa uguaglianza non vale se invece il verificarsi dell’evento r_A in A influenza il verificarsi dell’evento r_B in B, come ad esempio nel caso di lancio di dadi truccati che interagiscono.

Il fisico Bell ha ricavato una disuguaglianza che deve essere soddisfatta da ogni teoria locale. Una teoria è locale quando non ammette l’interazione a distanza in un tempo nullo, come invece sembra fare la meccanica quantistica quando descrive l’Entanglement.

Bell ha considerato le probabilità di misure di polarizzazione effettuate su due fotoni distanti, uno in A e uno in B, con 4 possibili orientazioni (a, b, c, d) del polarizzatore di controllo. Indicando con P^AB (a, b; SI, SI) la probabilità di ottenere il risultato (SI, SI) nelle due

misure effettuate in A e in B, con orientazioni rispettivamente a e b, e con P^AB (a, b;NO, NO), P^AB (a, b; SI, NO) e P^AB (a, b; NO, SI) le probabilità delle rimanenti possibilità, supponendo gli eventi indipendenti e quindi la teoria di tipo locale, sostituendo perciò alla probabilità P^AB (a, b; SI, SI) il prodotto delle probabilità dei singoli eventi in A e B cioè P^A (a; SI) x P^B (b; SI), e così via, ha calcolato il valore della seguente grandezza, indicata sinteticamente con E(a,b): 

E(a,b) = P^AB (a, b; SI, SI) - P^AB (a, b; SI, NO) - P^AB (a, b; NO, SI) + P^AB (a, b; SI, SI)

e una volta trovato anche i valori E(a, d) , E(c, b) e E(c, d), con sostituzioni e semplici passaggi algebrici ha dimostrato che la grandezza

|E(a, b) – E(a, d)| + |E(c, b) +E(c, d) |

deve avere un valore non superiore a 2.

Quindi la disuguaglianza di Bell, che è soddisfatta dalle teorie locali, può essere scritta così:

|E(a, b) – E(a, d)| + |E(c, b) +E(c, d) | <2

[La dimostrazione della disuguaglianza è fatta nella nota (2) a fine articolo².]

Il problema sorge però nel momento in cui si va a calcolare il valore del primo  membro della diseguaglianza nel caso di due fotoni entangled descritti dalla meccanica quantistica. Usando la trigonometria e le leggi quantistiche, si può vedere che detto (a˄b) l’angolo tra la direzione a e la direzione b si ha

E(a, b) = cos2(a˄b)

[La dimostrazione è riportata nella nota (3) a fine articolo, insieme alla definizione (per chi non la conoscesse) di coseno e seno di un angolo³.]

Cambiando le direzioni, si possono scrivere allora anche queste relazioni

E(a, d) = cos2(a˄d),

E(c, b) = cos2(c˄b),

E(c, d) = cos2(c˄d).

Se si sostituiscono nel primo membro della disuguaglianza questi valori, che sono previsti dalla teoria e che sono comunque confermati dagli esperimenti, si trova che la  disuguaglianza di Bell è infranta.

Proviamo con un esempio⁵:  

scelte le direzioni dei polarizzatori di prova con a = 0°, b = 22,5°, c = 45° e d = 67.5 °              si ha:

E(a, b) = E(0°, 22,5°) = cos2(0°˄ 22,5°) = cos45° = √2/2

E(a, d) = E(0°, 67,5°) = cos2(0°˄ 67,5°) = cos135° = - √2/2

E(c, b) = E(45, 22,5°) = cos2(45°˄ 22,5°) = cos(-45°) = √2/2

E(c, d) = E(45°, 67,5°) = cos2(45°˄ 67,5°) = cos45° = √2/2

e perciò sostituendo nel primo membro della disuguaglianza si ottiene

|E(a, b) – E(a, d)| + |E(c, b) +E(c, d) | = | cos45° - cos135°| + | cos(-45°) + cos45°| = |√2/2 + √2/2| + |√2/2 + √2/2| = 4∙√2/2 = 2√2 = 2,82

che è un valore ben superiore a 2 e quindi la disuguaglianza è violata.

Possiamo quindi concludere che la meccanica quantistica è una teoria ‘non locale’, anzi, che è la natura stessa, almeno nel caso dell’entanglement, che si comporta in tal modo. Ciò significa che due enti fisici entangled si possono influenzare istantaneamente, qualunque sia la loro distanza, e in maniera tale che se una misura viene effettuata sul primo, e si trova un dato valore, allora l’altro se ne ‘accorge’ subito e si ‘adegua’, assumendo immediatamente il valore corrispondente richiesto dal tipo di entanglement considerato.

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Note e crediti

(0) foto iniziale da Pixabay.com 

(1) Gian Carlo Ghirardi – Un’occhiata alle carte di Dio – Saggiatore 2015

(2) Dimostrazione della disuguaglianza di Bell 

 (dal testo di Ghirardi op. cit. a pag. 231):

Dalla definizione di E(a, b), considerando tutte le probabilità come indipendenti, quindi senza influsso non locale, si ha:

E(a,b) = P^AB (a, b; SI, SI) - P^AB (a, b; SI, NO) - P^AB (a, b; NO, SI) + P^AB (a, b; SI, SI) = P^A (a; SI) x P^B (b; SI) - P^A (a; SI) x P^B (b; NO) - P^A (a; NO) x P^B (b; SI) + P^A (a; SI) x P^B(b; SI)

e visto che

P^B (b; SI) = P^A (b; SI)

si ha, raccogliendo due volte a fattore comune:

E(a,b) = P^A (a; SI) [P^A (b; SI) - P^A (b; NO)] - P^A (a; NO) [P^A (b; SI) - P^A (b; NO)]

= [P^A (a; SI) - P^A (a; NO)] [P^A (b; SI) - P^A (b; NO)]

e si ha anche, mutando b con d:

E(a,d) = [P^A (a; SI) - P^A (a; NO)] [P^A (d; SI) - P^A (d; NO)]

si ottiene allora:

E(a,b) – E(a,d) = [P^A (a; SI) - P^A (a; NO)] [P^A (b; SI) - P^A (b; NO)] - [P^A (a; SI) - P^A (a; NO)] [P^A (d; SI) - P^A (d; NO)]

ovvero, mettendo ancora una volta a fattore comune:

E(a,b) – E(a,d) = [P^A (a; SI) - P^A (a; NO)]{[P^A (b; SI) - P^A (b; NO)] - [P^A (d; SI) - P^A(d; NO)]}

considerato adesso che

P^A (a; SI) + P^A (a; NO) = 1

si ha che

P^A (a; SI) = 1- P^A (a; NO)

e quindi

| [P^A (a; SI) - P^A (a; NO)] |= | 1 – 2 P^A (a; NO) | ≤ 1

visto che 0≤ P^A (a; NO) ≤ 1.

Allora, ricorrendo alle proprietà dei valori assoluti e alla disuguaglianza trovata sopra:

|E(a,b) – E(a,d)| = | 1 – 2 P^A (a; NO) | |{[P^A (b; SI) - P^A (b; NO)] - [P^A (d; SI) - P^A (d;NO)]}| ≤ | [P^A (b; SI) - P^A (b; NO)] - [P^A (d; SI) - P^A (d; NO)] |

per cui si ha anche che:

|E(c,b)+ E(c,d)| ≤ | [P^A (b; SI) - P^A (b; NO)] + [P^A (d; SI) - P^A (d; NO)] | 

Ponendo per brevità x = [P^A (b; SI) - P^A (b; NO)] e y = [P^A (d; SI) - P^A (d; NO)]

si può scrivere

|E(a,b) – E(a,d)| + |E(c,b)+ E(c,d)| ≤ |x-y| + |x+y|

e siccome

|x|≤ 1 cioè -1 ≤ x ≤ +1

|y|≤ 1 cioè -1 ≤ y≤ +1

considerando tutte le possibilità, cioè (x-y) positivo o negativo, (x+y) positivo o negativo, x positivo o negativo o incerto, y positivo o negativo o incerto, come è facile verificare disponendo i dati in una tabella, si vede che |x+y| + |x-y| può assumere solo i seguenti possibili valori positivi: 2x ≤ 2, -2y ≤ 2,     2y ≤ 2, -2x ≤ 2, per cui in ogni caso si ha:

|E(a,b) – E(a,d)| + |E(c,b)+ E(c,d)| ≤ |x+y| + |x-y| ≤ 2

che è la disuguaglianza che volevamo dimostrare. 

(3) Dimostrazione della formula E(a, b) = cos2(a˄b).

Una premessa:

In un triangolo rettangolo con angoli α, β, 90°, detta c_α la lunghezza del cateto opposto ad α, c_β la lunghezza del cateto opposto a β e i la lunghezza dell’ipotenusa,

 

 

 

 

 

il rapporto tra il cateto c_α e l’ipotenusa i è per definizione il senα, cioè si ha

senα = c_α / i

mentre il rapporto tra il cateto c_β e l’ipotenusa i è per definizione il cosα , cioè si ha

cosα = c_β / i.

Ne vengono anche le formule inverse che permettono di calcolare le ‘proiezioni’ ortogonali dell’ipotenusa ovvero i suoi cateti conoscendo angoli e ipotenusa:

c_α = i ∙ senα

c_β = i ∙ cosα

Da notare però che i valori di seno e coseno dipendono solo dall’angolo e non dal particolare triangolo considerato. Ecco per particolari angoli i valori di seno e coseno:

	seno	coseno
0°	0	1
30°	1/2	√3/2
45°	√2/2	√2/2
60°	√3/2	1/2
90°	1	0
120°	√3/2	-1/2
135°	√2/2	-√2/2
180°	0	1

(La dimostrazione che segue, con parole e terminologia un po’ diverse, è tratta nel suo impianto dal libro di Gian Carlo Ghirardi op. cit a pag 217)

Ricordo che stiamo supponendo adesso che i due fotoni nascano entangled con la stessa direzione di polarizzazione, e poi viaggiano in direzioni opposte verso i luoghi di misura A e B, e che la misura di polarizzazione in A viene fatta prima della misura eseguita in B.

Con ovvio significato dei simboli, nella prima misura in A, con il polarizzatore di verifica nella direzione a, per la simmetria circolare dello stato entangled AB, come spiegato nella nota (4), la probabilità che il fotone passi o non passi è la stessa, quindi è del 50%, perciò si può scrivere:

P^A (a; SI) = P^A (a, NO) = 1/2

Ciò detto, una volta fatta la misura a in A, si ottiene che a causa dell’entanglement anche il fotone in B ‘decade’ nello stato in cui si è ‘ridotto’ il fotone gemello in A, quindi se questo è passato, allora esso si troverà nello stato a, se invece non è passato il fotone in B si troverà con A in uno stato perpendicolare ad a, diciamo No-a. Allora, se ad esempio sia il fotone A che il fotone B sono ormai nello stato a, prima di effettuare la misura in B, il ‘peso probabilistico’ dello stato a del fotone in B lungo la direzione di polarizzazione di prova b sarà la proiezione dello stato a sulla direzione b, quindi sarà proporzionale al cos(a˄b), mentre il peso lungo la direzione perpendicolare alla direzione b, sarà proporzionale al sen(a˄b) (vedi Fig. 1 e le formule conseguenti ponendo a = i, b = c_β e α = (a˄b)).

Per quanto detto, se si è verificato lo stato di polarizzazione a per il fotone in A, allora in B usando come prova il polarizzatore con direzione b si ha:

P^B (a, b; SI) = cos²(a˄b)

P^B (a, b; NO) = sen²(a˄b)

se non si è verificato lo stato di polarizzazione a per il fotone in A, quindi se è nello stato No-a allora in B, usando il polarizzatore con direzione b si avrà:

P^B (No-a, b; SI) = sen²(a˄b)

P^B (No-a, b; NO) = cos²(a˄b)

Quindi le probabilità composte saranno per tutti i casi possibili:

P^AB (a, b; SI, SI) = P^AB (a, b; NO, NO) = P^A (a; SI) x P^B (a, b; SI) = P^A (a; NO) x P^B (No-a, b; NO) = 1/2 x cos²(a˄b)

P^AB (a, b; SI, NO) = P^AB (a, b; NO, SI) = P^A (a; SI) x P^B (a, b; NO) = P^A (a; NO) x P^B (No-a, b; SI) = 1/2 x sen²(a˄b).

sostituendo tali valori nella formula di E(a ,b) si ottiene:

E(a, b) = P^AB (a, b; SI, SI) - P^AB (a, b; SI, NO) - P^AB (a, b; NO, SI) + P^AB (a, b; SI, SI)

= 1/2 cos²(a˄b) - 1/2 sen²(a˄b) - 1/2 sen²(a˄b) + 1/2 cos²(a˄b) = cos²(a˄b) - sen²(a˄b)

Infine usando la nota formula di duplicazione del coseno data dalla goniometria

cos2α = cos²α - sen²α

si ottiene la relazione che volevamo dimostrare:

E(a,b) = cos2(a˄b).

(4) ricordo che nel caso dell’Entanglement, così come ho detto nel post precedente, si può dimostrare con le leggi della meccanica quantistica che, qualunque sia la direzione di polarizzazione in cui i due fotoni vengono preparati inizialmente, il loro stato quantistico entangled risulta simmetrico per rotazione piana, e quindi può essere pensato come la sovrapposizione di due stati di polarizzazioni scelti in direzioni arbitrarie, purché perpendicolari tra loro e con lo stesso ‘peso’ probabilistico, quindi ‘la componente’ dello stato dei fotoni lungo una direzione scelta arbitrariamente è sempre quella ottenuta pensandola come la lunghezza del cateto di un triangolo 45°, 45°, 90° con ipotenusa 1, cioè √2/2 (vedi la figura 2 del post precedente). Ne viene che la probabilità che il fotone in A, cioè quello della prima misura, passi o non passi per una assegnata direzione di polarizzazione, visto che esso si trova nello stato entangled, è (√2/2)² = ½, ovvero del 50%, cioè la ‘decisione’ del fotone se passare o no è del tutto casuale.

(5) l’esempio è tratto dal libro di Gian Carlo Ghirardi op. cit. a pag 217