I sistemi caotici

Laplace può essere considerato il più grande esponente del determinismo. Egli, visto il carattere predittivo delle leggi fisiche, sosteneva che se un’intelligenza superiore conoscesse i valori di posizione e velocità a un certo istante di tutte le particelle che compongono l’Universo, potrebbe prevedere lo sviluppo futuro di tutto compresi quindi anche la nostra nascita e il nostro agire: nulla potrebbe essere dovuto al caso, ma tutto sarebbe causato e stabilito dalle condizioni iniziali e dalle forze che governano il mondo. 

Sistemi dinamici impredicibili

Nella pratica però è impossibile conoscere con precisione infinita la posizione e velocità ad un certo istante dei costituenti di un sistema perché ogni strumento di misura, per raffinato che possa essere, ha sempre un margine di incertezza, commette cioè un errore che non può essere eliminato, vuoi per l’effetto perturbativo sull’oggetto durante la misura, vuoi perché ogni strumento ha la sua sensibilità che è limitata. Ma anche se ipoteticamente riuscissimo ad usare strumenti perfetti, ci sarebbe sempre un limite inferiore alla precisione anche a causa del Principio di indeterminazione di Heisenberg, che caratterizza i sistemi microscopici nella loro essenza. Allora le condizioni iniziali, essendo note solo dentro una ‘finestra’ seppur piccola di valori differenti, permettono molti possibili sviluppi futuri. Quindi se io conosco la posizione (x, y, z) di una particella con una incertezza Δx, Δy, Δz e la velocità (v_x, v_y, v_z) con incertezza Δv_x , Δv_y , Δv_z , al tempo t con incertezza Δt, la traiettoria che potrò prevedere non sarà una semplice linea ma come un ‘tubo’ che ha dentro questa linea e che contiene anche altre infinite traiettorie vicine tra loro.

A questo punto allora si potrebbe pensare che il determinismo sarebbe salvo comunque pur se con un certo margine (inevitabile) di errore in quanto riusciamo a prevedere invece delle linee almeno i ‘tubi’ di linee.

Il problema è che però esistono molti sistemi, anche semplici, la cui evoluzione è governata da equazioni non lineari  che per loro natura mostrano una ‘sensibilità’ molto elevata ai valori iniziali di velocità e posizione: questo significa in poche parole che pur preparando allo ‘stesso modo’ il sistema, le traiettorie che si otterranno di volta in volta, magari simili all’inizio, a partire però da un certo istante divergeranno tra loro spesso in maniera molto significativa e se considerate assieme non entreranno in nessun tubicino. Inoltre le traiettorie oltre che divergere sono di solito anche molto complicate, con percorsi che si sviluppano apparentemente a caso dando l'impressione di caos. Però bisogna rimarcare una cosa: il caso è fittizio, nel senso che la traiettoria risultante è quella perfettamente determinata dalle forze in gioco, quello che per noi è impossibile prevedere è il suo sviluppo con precisione infinita. Un po’ come nella caduta dei dadi lanciati: per noi l’arrivo è casuale perché non siamo assolutamente in grado di conoscere le condizioni iniziali del lancio, e in effetti non conosciamo tutte le perturbazioni che si pongono in essere durante la caduta e causate da eventi casuali, perciò la traiettoria sembra svilupparsi casualmente. Ma se fossimo in grado di conoscere perfettamente i valori delle condizioni iniziali,  gli eventi perturbativi e le forze agenti durante il moto di caduta, e sapessimo risolvere esattamente  le equazioni che ne governano il moto, potremmo determinare a priori perfettamente questa traiettoria e il risultato del lancio. Ma tutto ciò è oltre le possibilità umane per cui in effetti è come se tutto avvenga in maniera casuale e caotica. In questi casi si parla di ‘caos deterministico’. Esempi di sistemi 'caotici' non lineari se ne potrebbero portare tantissimi, tra questi il pendolo doppio, il sistema gravitazionale a tre corpi, il mulino idraulico di Lorenz, il tempo atmosferico, l cilindri convettivi in un liquido riscaldato.

Analizziamo il caso del pendolo doppio, che è composto da due pendoli semplici attaccati e liberi di oscillare, come quello rappresentato in figura

Figura 1 (1)

Ci accorgiamo che se lo facciamo partire con certe condizioni iniziali, ad esempio con angoli assegnati ben precisi sia per il primo che per il secondo pendolo (θ₁ e θ₂ in figura), dopo un po’ la traiettoria del secondo pendolo diventa molto complicata e il punto rappresentativo sembra quasi muoversi a caso.

Si veda infatti la seguente foto realizzata con esposizione lunga e con una sorgente luminosa attaccata al secondo pendolo

 

Figura 2 (2)

Non si conosce una soluzione analitica esatta delle equazioni non lineari che governano il suo moto, e se si vuole prevedere matematicamente la traiettoria bisogna fare un calcolo numerico tramite computer con passi successivi che portano a tratteggiare una traiettoria complicata che sembra non avere regolarità. Ne viene fuori una simulazione come quella in figura:

Figura 3 (3)

E si nota inoltre, cosa importante, che se si variano di molto poco i valori iniziali si otterranno, sia col calcolo che nella verifica reale, delle traiettorie diversissime tra loro. Cioè si nota che il sistema è molto sensibile rispetto ai valori iniziali e se questi cambiano anche di pochissimo si hanno delle conseguenze future molto importanti, nel senso che a partire da un certo istante si otterrà una traiettoria che diverge nettamente da quella precedente. Ecco perché per questi sistemi ‘caotici’ si parla di effetto farfalla, l’affermazione ormai celebre che ‘anche il battito delle ali di una farfalla può provocare a grande distanza un uragano’: piccole cause possono generare grandi effetti.

Qui si può vedere il moto del pendolo doppio nel caso reale

 

 

Spazio delle fasi

I fisici teorici per poter indicare le grandezze che servono a descrivere un sistema in moto, e cioè la posizione e la velocità, usano uno ‘spazio delle fasi’ che è come un sistema cartesiano, in cui però oltre alla coordinata spaziale x c’è anche le velocità v. In pratica in uno ‘spazio’ delle fasi (x, v) un punto indica che il sistema si trova nella posizione x e ha velocità v (in realtà dovremmo parlare di tre coordinate x, y, z e tre componenti della velocità lungo gli assi cioè v_x, v_y, v_z) . L’evoluzione temporale del sistema sarà allora rappresentata da una curva in questo ‘spazio delle fasi’ senza tempo. Le curve possono: spiralizzare verso un punto per i sistemi dissipativi (perché avendo esaurito l’energia prima o poi si fermano), o essere semplici e chiuse, per i sistemi conservativi, cioè i sistemi periodici, oppure, possono diventare di lunghezza infinita e proseguire in maniera apparentemente casuale e complicata pur rimanendo in una zona limitata, per quelli caotici dissipativi, a cui viene fornita continuamente energia dall’esterno.

E il fatto che i sistemi non lineari presentano sensibilità elevata ai valori iniziali lo si vede anche sperimentalmente: nella figura viene riportato con due colori diversi il comportamento di due sistemi uguali preparati nelle stesse condizioni iniziali, tipo due ruote idrauliche di Malkus. Vengono riportati in verticale la velocità angolare e in orizzontale la posizione del baricentro, e si vede che a partire da un certo istante le ‘traiettorie’ in questo ‘spazio delle fasi’(disegnate con due colori differenti) diventano completamente diverse e non vicine come ci saremmo aspettati con un comportamento lineare in cui piccole variazioni delle condizioni iniziali debbono avere piccoli effetti. Qui invece si vede che le variazioni successive si amplificano col passare del tempo.

Figura 4

Mappa logistica

Ma in che senso una traiettoria nello spazio delle fasi ad un certo punto si dice che assume una caratteristica caotica?

Può essere fatto un altro tipo di grafico, detto ‘mappa logistica’, in cui si riportano i valori di una caratteristica basilare rappresentativa del sistema in funzione di un parametro di controllo, ad esempio indicando sul'asse verticale il massimo della distanza da un punto fissato assunto da un un sistema in oscillazione e sull'asse orizzontale l’angolo o la posizione di partenza, oppure la massima velocità di rotazione di un cilindro di convezione in funzione della differenza di temperatura tra i due strati di liquido, superiore e inferiore, in cui si genera il moto convettivo.

In questi casi si vede che al variare del parametro, l'entità rappresentativa di questi sistemi cambia, assumendo un sol valore, per certi valori del parametro, mentre per altri valori di tale parametro, detti di ‘biforcazione’, se ne possono presentare due, o quattro o addirittura infiniti. Ad esempio l’entità rappresentativa potrebbe essere il diametro di un’orbita, che può presentare: un unico valore costante nel caso questa sia un’ellisse, oppure variare tra due valori estremi, nel caso che essa sia rappresentabile con una curva doppia chiusa ad esempio con due ellissi di diametro diverso collegate in maniera da chiudere la traiettoria , oppure tra quattro valori, e così via fino al caso ‘caotico’ in cui la curva diventa molto complicata e i valori dei ‘diametri’ cambiano in continuazione senza nessuna apparente regolarità.

Lo vediamo nella figura sotto. Nell’asse verticale (x) sono riportati i valori della grandezza caratteristica ( ad esempio i diametri dell’orbita) e nell’asse orizzontale i valori del parametro di controllo (r) (ad esempio l’angolo θ₂ di partenza nel caso del pendolo doppio). Notiamo che per il valore del parametro di controllo poco superiore a 3 il sistema mostra due valori massimi della caratteristica, mentre per i valori superiori a 3,4 ne presenta 4, per quelli intorno a 3,55 ne assume 8 e da 3,6 in poi ne assume infiniti, cioè il suo evolversi può essere considerato caotico e imprevedibile.

Figura 5

Voglio comunque sottolineare che le traiettorie, sia nella realtà spaziale o anche in quella delle fasi o nella mappa logistica, pur presentando un aspetto di impredicibilità a causa della nostra limitatezza conoscitiva, non vengono fuori a ‘caso’ ma sono determinate dalle condizioni iniziali e dalle forze in gioco. Inoltre se si ingrandiscono le mappe logistiche si vede che il passaggio a due punti di biforcazione, poi a quattro, poi a otto, e così via, continua in maniera autosimile e analogo ad uno sviluppo frattale. Esse quindi presentano interiormente delle regolarità e periodicità inaspettate che che ci fanno capire che il ‘caos’ è solo apparente. Ciò significa fra l’altro che esse sono causate e non casuali, anche se siamo nell'impossibilità di prevederle perfettamente ma solo qualitativamente.

Per concludere, una piccola domanda che mi pongo  da credente...

Se è vero il determinismo, allora, visto che negli esseri umani esiste il ‘libero arbitrio’ - appunto ‘libero’ e quindi non determinato a priori, almeno di non metterlo in discussione con argomenti che ritengo non convincenti come ho spiegato qui -,  potrebbe essere quindi non causato da forze fisiche e magari esulare perciò dal campo di indagine della fisica stessa?

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Note e crediti 

(0) Foto iniziale da https://commons.wikimedia.org/wiki/File:TwoLorenzOrbits.jpg

(1) Figura 1 da https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Double-compound-pendulum-dimensioned.svg

(2) Figura 2 da https://commons.wikimedia.org/wiki/File:DPLE.jpg

(3) Figura 3 da https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Double-compound-pendulum.gif

(4) Figura 4 da https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lorenz_attractor_yb.svg

(5) Figura (5) https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LogisticMap_BifurcationDiagram.png

(6) Il video è preso da YouTube al link 

https://youtu.be/z3W5aw-VKKA