Indizi di Intelligent Design? - La quarta dimensione dei corpi e il loro sviluppo frattale

Sto leggendo un libro scritto dagli evoluzionisti Piattelli Palmarini e Jerry Fodor (1) – che fra l’altro tengono fortemente a precisare di essere atei ’fin al midollo delle ossa’ (sic) - , in cui si critica l’impostazione neo-darwinista dell’evoluzione, quella basata su variazioni casuali a livello genetico e selezione naturale. Non è un libro di facile lettura, in quanto un po’ specialistico, ma in esso ho scovato degli spunti per poter scrivere alcuni post. In particolare ho trovato interessante il capitolo ‘Il ritorno della forma’, in cui si fa notare che le strutture e i comportamenti degli organismi viventi sono ottimali e che è quindi molto difficile supporre che siano spuntati per tentativi casuali e poi selezionati, in quanto le possibili strade percorribili per arrivare a tali livelli di complessità costruttiva o comportamentale sono talmente numerose che il supporre che i viventi pur in milioni di anni di vita abbiano potuto esplorare tutti i percorsi meno perfetti abbandonandoli a causa della selezione, ritentando innumerevoli volte per arrivare alla fine a quelli ottimali appare veramente infinitamente poco probabile, in pratica impossibile.

Vedremo una rassegna di alcune di queste strutture e processi, in questo post focalizzeremo l’attenzione alla struttura frattale degli organismi, che sembra dare ad essi una dimensione in più.

Frattali e quarta dimensione dei viventi

Provate a chiedere a chiunque di indovinare la lunghezza complessiva del sistema circolatorio dei mammiferi (vene, aorte, capillari), in particolare quella dell’essere umano: nessuno ci azzeccherà mai pur proponendo magari numeri grandi. Nessuno infatti sano di mente, se già non lo sa, potrebbe immaginare che questa lunghezza è pari a 100.000 km, cioè due volte e mezzo la misura della circonferenza della Terra all’equatore! Questa lunghezza così grande è dovuta al fatto che il sistema circolatorio ha una struttura frattale. Un frattale è una figura che si ripete uguale a se stessa a diverse scale, anche a quelle più piccole, matematicamente anche a quelle infinitesime. Pensate ad una grande V, poi alle due estremità superiori di questa inserite due altre V più piccole, con le braccia la metà di quelle precedenti, otterremo così una figura composta da tre V, una grande e due più piccole della metà, poi alle estremità di queste ultime V aggiungiamo altre quattro V con braccia la metà delle precedenti, avremo così una figura, una specie di candelabro con 1+2+4 = 7 V, pensiamo di continuare così all’infinito: otterremo una figura ad albero, con infiniti rami a V sempre più piccoli: abbiamo ottenuto così un frattale. L’esempio che abbiamo portato potrebbe essere considerato una specie di sistema circolatorio stilizzato e ideale in cui i rami sarebbero le vene e i capillari. Ovviamente questo modello teorico ad infinite aggiunte avrebbe infiniti rami e la sua lunghezza totale sarebbe la somma di infiniti termini (detta anche serie…) , cioè 2(L) + 4(L/2) + 8(L/4) +… e quindi 2L+ 2L+ 2L…, con L la lunghezza di uno dei due rami della V iniziale, e  avrebbe un valore infinito, ma nella pratica non è così in quanto c’è un limite al diametro dei rami estremi, che non può essere tendente a zero sennò il sangue non passerebbe e quindi dobbiamo pensare a un termine nel numero di aggiunte, bisogna fermarsi quando questi rami sono diventati così piccoli che non è possibile andare oltre, e perciò la somma conterrebbe un numero finito di termini, ma nonostante ciò nell’essere umano raggiunge come lunghezza totale la ragguardevole cifra di 100 mila km! Esiste perciò un diametro minimo che è della stessa misura in tutti gli organismi viventi, nei mammiferi ad esempio dal topo alla balena, e ciò nonostante il loro cambiamento di forma e stazza, e che comporta il limite massimo di ottimizzazione.

Un punto ha dimensione zero, una linea dimensione uno, una figura piana dimensione due, un solido dimensione tre. I frattali hanno di solito una dimensione intermedia tra queste. Ad esempio la curva fiocco di Kock (vedi figure sotto) viene ottenuta a partire da un triangolo equilatero a cui viene tolta la parte centrale pari a un terzo in ogni lato, viene quindi aggiunto ad ogni lacuna una V capovolta i cui rami hanno misura uguale al terzo del segmento che era stato tolto. Poi su ognuno dei rami delle V si ripete il processo, cioè si toglie la parte centrale pari a un terzo del ramo, quindi di lunghezza pari a un sesto del segmento di partenza, e si aggiunge una V capovolta con rami di tale lunghezza. Si prosegue così all’infinito ottenendo una curva infinitamente frastagliata che pur essendo una linea, ha però una dimensione superiore a uno, precisamente 1,262, quindi una dimensione intermedia tra quella di un segmento e un piano. Fra l'altro si può dimostrare che questa curva ha una lunghezza infinita! (2)

(Credit sito: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Koch_anime.gif - Credit autore: Christophe Dang Ngoc Chan (cdang) -)

Più la dimensione di un frattale si avvicina a quella del limite superiore più tende a ‘riempire’ tale dimensione limite.

Nel corpo umano strutture riconducibili ai frattali sono osservabili nelle reti di vasi sanguigni, di fibre nervose e di strutture canalizzate. Il frattale attualmente più studiato è forse l’albero bronchiale, il sistema ramificato che trasporta i gas respiratori da e verso i polmoni.

I polmoni sono generati con rami, i bronchi, che si suddividono in altri rami più piccoli, La quantità di gas (O₂ e CO₂) che può essere scambiata nei polmoni è direttamente proporzionale alla superficie totale in contatto con l’aria. Così, anche se il volume di una coppia di polmoni umani è solo ~ 4-6 litri, la superficie è tra i 50 e i 100 metri quadrati a causa della loro struttura frattale. Circa la stessa area di un campo da tennis!

Nonostante i vuoti, la dimensione di questa struttura polmonare frattale è quasi 3 ( è 2,97 per l'esattezza), è fatta quindi da superfici tubolari che riempiono lo spazio a disposizione in maniera praticamente ottimale.

La caratteristica più importante per i processi metabolici in un organismo, così come si è visto per i polmoni, è la superficie interna efficace totale, perché è quella che permette l'interazione con elementi esterni.

In uno spazio tridimensionale il volume di un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa. Essendo la lunghezza media di un corpo proporzionale alla radice cubica del volume, e come si sa dall’algebra, visto che la radice di indice n di un numero è il numero stesso elevato alla potenza 1/n, allora la lunghezza di un corpo è proporzionale al suo volume elevato a 1/3, cioè L~V^⅓. L’area della superficie è il quadrato di questa lunghezza e quindi  è direttamente proporzionale al volume ovvero alla massa del corpo elevati a 2/3, cioè A~V^2/3~M^2/3

Generalizzando, l’area A della superficie di un corpo in un iperspazio euclideo è direttamente proporzionale al suo volume V elevato all’esponente (D-1)/(D), dove D è la dimensione dell' iperspazio in cui si trova immerso il corpo, quindi A~V^(D-1)/(D)  (3).

Se lo spazio considerato fosse a quattro dimensioni allora anziché di radice cubica dovremmo parlare di radice quarta, e l’area della superficie sarebbe proporzionale al volume o alla massa del corpo elevato a 3/4, cioè A~V^3/4~M^3/4 . Detto ciò, si è trovato che in effetti a causa della struttura frattale ottimizzata, avendo le superfici interne agli organismi una dimensione in più, è come se fossero ‘ipersuperfici’ in uno spazio a quattro dimensioni anziché a tre. E in effetti si è notato sperimentalmente che l’area interna utile ‘a’ del corpo, che come abbiamo visto nel caso dei polmoni, a causa della struttura frattale ottimizzata, è più simile a quella di un corpo tridimensionale che a quello di una superficie bidimensionale, cresce come la massa elevata alla potenza di 3/4, cioè a ~V^3/4~M^3/4 e non alla potenza di 2/3 come ci si aspetterebbe normalmente in uno spazio tridimensionale, ma questo è più coerente con la legge di proporzionalità per una ipersuperficie a tre dimensioni in un iperspazio a quattro dimensioni. 

Questa legge con esponente multiplo di 1/4 (anziché di 1/3) è vera anche per altri parametri biologici, e assume la forma generale Y = Y₀ M^b, con Y il parametro considerato, b un esponente frazionario (con denominatore 4) e M la massa del corpo (4). Vediamo alcune di questi parametri Y con il relativo esponente b (5):

- area trasversale dei tronchi di albero: b = 3/4

- diametro delle aorte: b = 3/8, perciò loro area trasversale: b = 3/4

- tempo circolazione sanguigna: b = 1/4

- tempo di vita: b = 1/4

- velocità del metabolismo cellulare: b = 1/4

- velocità battito cardiaco: b = -1/4

- velocità del metabolismo dell’organismo nel suo complesso: b = 3/4.

Si è trovato perciò una cosa interessante e nel contempo sorprendente: gli esseri viventi hanno delle strutture interne tali da rendere l’organismo simile a un apparato con una dimensione in più: cioè è quasi come se il corpo degli esseri viventi invece di essere a tre fosse a quattro dimensioni. 

Fra l'altro ancora meglio sembra che vada per il cervello. La sua struttura frattale sarebbe tale da farlo assomigliare più ad un corpo immerso in uno spazio pentadimesionale, cioè a cinque dimensioni, anziché a tre o quattro! (6)

Ma come sarebbero arrivati gli organismi viventi a questo grado di sofisticata complessità? E’ interessante ciò che affermano Palmarini e Fedor:

“La forza che ha diretto queste leggi di scala invarianti non può essere stata la selezione naturale (né tanto meno la ‘variazione genetica casuale’ – nota mia). E’ inconcepibile che così tanti organismi differenti, possano aver ‘tentato’ alla cieca ogni genere di legge delle potenze e che abbiano potuto riprodurli e diffondersi solo quelli che per caso hanno ‘scoperto’ la legge delle potenze di 1/4. I principi di massimizzazione che hanno vincolato una varietà tanto stupefacente di forme biologiche sono di natura fisico-chimica e topologica. I percorsi biochimici, il codice genetico, i percorsi dello sviluppo e la selezione naturale non possono aver plasmato queste geometrie. Non hanno avuto alcuna ‘scelta’ se non sfruttare quei vincoli e lasciarsene orientare.” (7)

In pratica sostengono che gli organismi si sarebbero formati regolati da 'superleggi' di ottimizzazione con sviluppo frattale e di tipo fisico-chimico, ‘leggi della forma’ preesistenti agli organismi stessi e di cui parlava anche il genetista Sermonti alcuni anni fa (8).

(continua)

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Note e crediti

(0) la foto  iniziale è tratta dal sito Pixabay.com

(1) Massimo Piattelli Palmarini e Jerry Fodor – Gli errori di Darwin – Feltrinelli 2010 

(2) Supponiamo il segmento iniziale di lunghezza 1 cm. Se togliamo al segmento 1/3 centrale e gli aggiungiamo una V capovolta con lati ognuno pari a 1/3 avremo ottenuto una linea frastagliata composta da 4 segmenti di 1/3 e perciò di lunghezza (4x1/3) cioè 1,33 cm. Se ripetiamo il procedimento per ogni lato, togliendo 1/3 della parte centrale e aggiungendo la V capovolta, con lati quindi pari a 1/9, otterremo una figura di 4x4 = 16 lati ognuno di lunghezza 1/9 e quindi la linea avrà così lunghezza 16x1/9 cioè 1,78 cm. Reiterando il processo, al passo n avremo (4x4x4 ...x4) = 4ⁿ segmenti di lunghezza (1/3ⁿ) e la lunghezza totale allora sarà 4ⁿ x (1/3ⁿ) cioè (4/3)ⁿ cm, quindi la lunghezza crescerà esponenzialmente, con esponente n = numero di passi e come base 4/3 (che è maggiore di 1). Con un numero infinito di passi allora otterremo un 'merletto' di lunghezza infinita contenuto nel segmento iniziale di 1 cm.

(3) West, Brown e Enquist - The fourth dimension of Life: Fractal geometry and allometric scaling of organisms - Report Science 4 June 1999 vol 284 in www.sciencemag.org - a pag.  1677 - citato da Palmarini e Fodor a pag 95. 

(4) si veda anche On Blum's Four-dimensional Geometric Explanation for the 0·75
Exponent in Metabolic Allometry

(5) Massimo Piattelli Palmarini e Jerry Fodor op. cit. a pag 95 in nota.

(6)  Si veda l'articolo di Ji-Huan He, Juan Zhang - Fifth dimension of life and the 4/5 allometric scaling law for human brain - Cell Biology International 2004

(7) Massimo Piattelli Palmarini e Jerry Fodor op. cit. a pag 97.

(8) Giuseppe Sermonti - Le forme della vita - Centro librario Solidalitium 2003